선형대수학
선형대수학은 행렬로 시작한다.
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}
행렬은 수학적 데이터 표와 같아 많은 정보를 간단히 담아둘 수 있다.
하지만 데이터가 많아질수록 행렬이 아니라면 표현하기가 힘들다.
행렬은 연립일차방정식을 풀 때도 사용할 수 있는데,
방정식에 미지수가 100개가 넘는다해도 행렬을 통해 쉽게 풀어낼 수 있다.
우선 행렬을 이용한 연립일차방정식 풀이 전에, 연립일차방정식 풀이법을 복습해보자.
연립일차방정식 풀이
연립일차방정식은 두 가지 방법으로 풀 수 있다.
- 가감법(소거법)
- 대입법
위 방법으로 아래 방정식의 해를 구해보자.
$\begin{cases} &y= x + 7 \\ &x + 2y = -16 \end{cases}$
1. 가감법 (소거법)
연립방정식은 미지수를 줄이는 것이 중요한데, 가감법은 가감의 더하거나 뺀다는 의미 그대로
방정식을 빼고 더하므로써 미지수를 줄이는 방식이다.
우선 첫번째 방정식부터 전개해 나가자.
$y = x + 7$은 두번째 식과 항이 다르므로 두번째 식과 비슷하게 이항시켜준다.
$y = x + 7$
$x + 7 = y$
$x = y - 7$
$x - y = 7$
이제, $x - y = 7$와 $x + 2y = -16$을 각각의 항끼리 빼주면 된다.
빼지 않고 더하더라도 문제는 없으나 미지수의 계수와 부호에 따라 더하고 뺴는 것을 염두에 두고 푼다면 답을 더 빨리 구할 수 있다.
- 두 방정식의 미지수 계수 절댓값이 같고, 부호가 반대라면 더한다.
- 두 방정식의 미지수 계수 절댓값이 같고 ,부호가 같다면 뺀다.
$(x - y) - (x + 2y) = -7 - (-16)$
$x - y - x - 2y = -7 + 16$
$-3y = 9$
$y = -3$
$y$는 $−3$이라는 값이 구해졌으니 이제 비교적 식이 간단한 첫번째 방정식에 대입해보자.
$x - (-3) = -7$
$x + 3 = -7$
$x = -10$
따라서 답은 $x = -10$, $y = -3$이 된다.
2. 대입법
이제 대입법으로 풀어보자.
첫번째 방정식에서 $y = x + 7$이라고 했다.
그렇다면 두번째 방정식의 $y$ 자리에 $x + 7$을 넣어주자.
$x + 2(x + 7) = -16$
$x + 2x + 14 = -16$
$3x = -30$
$x = -10$
이제 반대로 $y = x + 7$의 $x$ 자리에 $-10$을 대입해보자.
$y = -10 + 7$
$y = -3$
대입법 또한 똑같이 $x = -10$, $y = -3$이라는 답을 얻게 된다.